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4.2.1 Metawissen

Wir haben in der Einleitung zu diesem Abschnitt bereits die Notwendigkeit zur Repräsentation von propositionalen Einstellungen wie ``wissen'' oder ``glauben'' deutlich gemacht. In diesem Unterabschnitt wollen wir die Alternativen einer Repräsentation solcher Metaprädikate erläutern und uns dabei auf das ``glauben'' beschränken. Eine erste Alternative ist uns bereits bestens vertraut, ohne daß sich der Leser dessen vielleicht bewußt ist. Wir haben nämlich schon im Verlauf des ganzen Buches über formal repräsentiertes Wissen diskutiert. Diese gesamte Diskussion findet auf der Metaebene statt, und sie ist auch repräsentiert, und zwar in natürlicher Sprache. Das mag für die Formalisierung der Metaebene zwar im Moment wenig hilfreich erscheinen. Es ist für die Illustration jedoch wichtig zu sehen, daß der Unterschied zwischen Objekt- und Metaebene auch in natürlichem Kontext ständig präsent ist.

Wenden wir uns nun den formalen Repräsentationsmöglichkeiten zu, so gibt es hier grundsätzlich die folgenden drei Alternativen.

1. Reifikation der Aussagen auf der Objektebene durch Zitierung und Repräsentation in der Prädikatenlogik erster Stufe.
2. Axiomatische Charakterisierung des Metaprädikats als Prädikat höherer Stufe in der Typentheorie.
3. Einführung eines logischen Operators zur Repräsentation der jeweiligen propositionalen Einstellung.

Wir wollen diese drei Alternativen nun der Reihe nach besprechen. Die erste Möglichkeit des Zitierens ist jedermann aus natürlichen Texten bestens vertraut. ``Fritz sagte, `Logik hat mein Verständnis der natürlichen Sprache vertieft' '' ist ein Beispiel, das sogar auf drei Ebenen spielt. Die unterste Objektebene ist Fritzens Aussage über die Logik, die Metaebene ist die der Feststellung, daß Fritz eine Äußerung machte, und die Meta-Metaebene ist die unseres Textes, in dem dieses Beispiel zitiert wird.

Logisch betrachtet besteht der Mechanismus des Zitierens mittels Anführungszeichen in der Bildung eines Namens für den Text der Aussage auf der Objektebene. Dieser Text bildet aus der Sicht der Metaebene ein Objekt, das durch eine Konstante, eben diesem Namen, in der Sprache der Metaebene repräsentiert wird. Eben deshalb haben wir von einer Reifikation (dh. ``Dingmachung'') im Zusammenhang mit diesem Ansatz gesprochen. Logisch hat das obige Zitat daher die folgende atomare Struktur.

Sagte(fritz, ``Logik hat mein Verständnis ...vertieft'')

In einer derartigen formalen Repräsentation sind wir natürlich weniger an Zitaten natürlicher Aussagen, sondern an Zitaten von logischen Aussagen der Objektebene interessiert. Wie wir aus Abschnitt 2.3.4 wissen, ist der diesbezügliche Unterschied jedoch marginal. Im Beispiel ergäbe sich etwa die folgende Struktur.

Sagte(fritz, ``Vertieft(logik, nat_Sprache)'')

Bei der Namensbildung für Formeln wie das Literal Vertieft(logik, nat_Sprache) haben wir völlige Freiheit. Es erweist sich jedoch als vorteilhaft, im Namen die Formelstruktur so beizubehalten, daß man aus dem Namen auch die Namen von Unterausdrücken, dh. von Unterformeln oder Termen, erschließen kann. Wir lösen dies dadurch, daß wir den Namen eines Ausdrucks als Folge der Namen seiner unmittelbaren Unterausdrücke bilden. Der Name unseres Beispielliterals lautet daher [``Vertieft'', ``logik'', ``nat_Sprache'']. Der bisher verwandte Name ``Vertieft(logik, nat_Sprache)'' wird dabei weiterhin zugelassen, und zwar quasi als Abkürzung (besser gesagt, als natürlichere Form) des eigentlichen, durch die Liste gegebenen Namens. Besteht einer der unmittelbaren Unterausdrücke nicht aus einer konstanten Bezeichnung (wie in unserem Beispiel), so bilden wir in rekursiver Weise zuerst den Namen dieses Unterausdrucks und setzen ihn in die Liste des Gesamtausdrucks ein.

Diese Konstruktion der Namensbildung hat die erforderliche Flexibilität, um auch Aussagen wie ``Hans und Maria nannten eine übereinstimmende Telephonnummer von Fritz'' formal repräsentieren zu können. Als Formel lautet diese Aussage

Dieses Beispiel illustriert zum einen das Auftreten eines nicht-konstanten Unterausdrucks, nämlich von tel_nr(fritz). Wir haben den Namen dieses Terms in der natürlicheren Form geschrieben, die, wie gesagt, nur als Abkürzung für den Namen [``tel_nr'', ``fritz''] zu verstehen ist. Zum anderen zeigt das Beispiel die Möglichkeit des Auftretens einer Variablen im Namen. Schließlich sehen wir auch an diesem Beispiel, daß sich auf diese Weise in jedem Fall eine Formel erster Stufe ergibt.

Erst in der Prädikatenlogik höherer Stufe (oder Typentheorie) ist es möglich, daß eine Formel als Argument eines Prädikats auftritt. Dadurch ergibt sich die zweite Möglichkeit der Repräsentation von Aussagen auf der Metaebene in der Typentheorie. Unser erstes Beispiel lautet dann einfach wie folgt.

Sagte(fritz, Vertieft(logik, nat_Sprache))

``Sagte'' ist in dieser Formel ein Prädikat höheren Typs (genauer gesagt, des Typs (0,1) - siehe Abschnitt V.6 in [Bib87a]). Die Eigenschaften eines solchen Prädikats charakterisiert man wie in der Prädikatenlogik in einer axiomatischen Weise durch Angabe entsprechender Formeln.

Wie man sieht, erweist sich dieser Zugang über die Typentheorie sogar als einfacher als der Reifikationsansatz; dabei ist er auch noch wesentlich flexibler. Die Typentheorie schreckt potentielle Anwender nur dann durch ihre Komplexität ab, wenn man sie in voller Allgemeinheit in Betracht zieht. Leider hat bislang niemand sich die Mühe gemacht, einen für die Praxis ausreichenden Teil der Typentheorie zu erarbeiten, so daß dieser Abschreckungseffekt bislang zu einem gewissen Schattendasein dieser zweiten Möglichkeit geführt hat.

Damit kommen wir zur dritten Möglichkeit der Verwendung eines neuen logischen Operators zur Repräsentation einer propositionalen Einstellung. Diese Möglichkeit ergibt sich tatsächlich nur deshalb, weil die hier betrachteten Einstellungen von propositionaler Natur sind, dh. zur Bildung von Aussagen auf Objekte angewandt werden, die selbst Aussagen sind, was logische Operatoren in gleicher Weise auszeichnet.

Wie oben erwähnt, wollen wir uns im wesentlichen auf die Einstellungen Glauben und Wissen beschränken und dafür die Operatoren (von engl. belief) und (von engl. knowledge) einführen. Beide Operatoren sind zweistellig; das erste Argument bezeichnet das Individuum, das glaubt oder weiß, das zweite Argument bezeichnet die geglaubte oder gewußte Ausage. Die Formel K(ich, Rund(erde)) bringt demnach die Aussage ``ich weiß, daß die Erde rund ist'' zum Ausdruck. Der Einfachheit halber schreiben wir oft und anstelle von und .

B und K sind modale Operatoren. In Abschnitt 2.11.7 haben wir hierfür geschrieben. Ansonsten bilden wir mit jedem der beiden je eine modale Sprache in der in Abschnitt 2.11.7 beschriebenen Weise. Auf die in dieser Logik geltenden Axiome und Regeln kommen wir im nächsten Unterabschnitt zu sprechen.