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Definition 12.2.1 (Geordnetes Paar). Ein geordnetes Paar besteht aus einer ersten und einer zweiten Komponente (Koordinate). Diese werden zwischen spitzen Klammern notiert: 〈a,b〉. Oft aber auch in runden: (a,b).
Definition 12.2.2 (Gleichheit von geordneten Paaren). Zwei geordnete Paare sind gleich , wenn sie in ihren beiden Komponenten gleich sind. Formal: 〈a,b〉 = 〈c,d〉 = df.a = c ∧b = d
Beispiel 12.2.3 (Unterschied von geordneten Paaren und Zweier-Mengen).
Sei a ⁄= b. Dann gilt {a,b} = {b,a}, aber 〈b,a〉 = 〈a,b〉 gilt nicht.
Definition 12.2.4 (Produktmenge, kartesisches Produkt). Ein Kreuzprodukt zweier Mengen besteht aus der Menge der geordneten Paare, welche sich aus den Mengen kombinieren lassen.
Beispiel 12.2.5.
Sei A = {a,b} und B = {1,2}:
A ×B = {〈a,1〉,〈a,2〉,〈b,1〉,〈b,2〉}
A ×A = {〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,b〉}
Frage
Welche Menge ergibt sich, wenn B = ∅?
Definition 12.2.6 (Zweistellige Relation). Eine binäre Relation R zwischen Elementen zweier Mengen M und N ist eine Teilmenge des Kreuzproduktes von M und N.
Notationsvarianten
Anstelle von 〈a,b〉∈R schreibt man gerne in Infix-Notation aRb oder in Präfix-Notation R(a,b).
L = {〈“eine”,“ART”〉,〈“eine”,“VVIMP”〉,…}
n-Tupel und n-stelliges kartesisches Produkt
Definition 12.2.8 (n-Tupel). Ein n-Tupel ist die Verallgemeinerung des geordneten Paares auf endlich viele Komponenten: 〈x1,x2,x3,…,xn〉
Zwei n-Tupel sind gleich , wenn sie in jeder Komponente übereinstimmen: 〈x1,x2,…,xn〉 = 〈y1,y2,…,ym〉 = df. x1 = y1 ∧x2 = y2 ∧… ∧xn = ym ∧n = m
Definition 12.2.9 (n-stelliges kartesisches Produkt). Ein n-stelliges kartesisches Produkt besteht aus der Menge der n-Tupel, welche sich aus den n Mengen bilden lassen.
M1 ×M2 ××Mn = df. { 〈x1,x2,…,xn〉|x1 ∈M1 ∧x2 ∈M2 ∧… ∧xn ∈Mn }
Eigenschaften binärer Relationen
Für eine Relation R ⊆M ×M gilt:
Beispiele von Eigenschaften binärer Relationen
Sei M die Menge aller Menschen.
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