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12.1.  Mengen

Mengen

Definition 12.1.1 (“Naive” Mengenlehre nach [CANTOR 1895]).

pict

Abbildung 12.1: Faksimile der Bestimmung des Mengenbegriffs bei Georg Cantor

Kommentar zur Terminologie

Es gibt also Objekte , Mengen und Elemente .

Beispiel 12.1.2 (Mengen aus der Welt der Linguistik).
Menge der Sätze einer Zeitungausgabe, der Wortformen eines Satzes, der Lexeme eines Satzes, der Buchstaben eines Wortes, der Bedeutungen eines Wortes, …

Formale Notationen für Mengen

Definition 12.1.3 (Aufzählung einer Menge). Eine Mengenaufzählung besteht aus Zeichen(-ketten), welche die Objekte einer Menge bezeichnen und zwischen geschweiften Klammern stehen. Zwischen den Zeichen werden Kommata geschrieben. Die Reihenfolge der Zeichen ist irrelevant.

Beispiel 12.1.4 (Menge der Farben der französischen Flagge pict).

{blau,weiss,rot} oder {weiss,blau,rot} oder {bleu,blanc,rouge} oder {a,b,c}, falls z.B. festgelegt ist, dass a für Rot, b für Blau und c für Weiss steht. Welche Konvention legt fest, dass bleu für die Farbe Blau stehen soll?

Mehrfachschreibung von Zeichen

Die Notation {a,a,b,c,c,c} bezeichnet die gleiche Menge wie {a,b,c}.

Unterschiedliche Zeichen für dasselbe Objekt (Objektgleichheit)

Wenn gilt: a = b, dann bezeichnen {a,b} und {a} dieselbe Menge.

Beispiel 12.1.5 (Token).
Die Menge M der Token des Satzes “Wenn hinter Fliegen Fliegen fliegen, fliegt eine Fliege Fliegen nach.”

M = {“Wenn”, “hinter”, “Fliegen”, “fliegen”, “,”, “fliegt”, “eine”, “Fliege”, “nach”, “.”}

Lexem als Menge von Token

LexemFliege = {“Fliege”, “Fliegen”}

Lexemverband als Menge von Lexemen

Lexemverbandflieg = {{“Fliege”,“Fliegen”}, {“fliegt”,“fliegen”,“fliegst”,…},…}

Formale Notationen für Mengen

Definition 12.1.6 (Charakterisierung (Beschreibung) einer Menge). Eine Mengencharakterisierung besteht aus einer Variablen x (oder y,z), einem senkrechten Strich und einem Bedingungsteil, der angibt, unter welchen Bedingungen irgendein Objekt x Element der damit notierten Menge ist.

{x | Bedingung(en) über x}

Gesprochen: Die Menge aller x, für die gilt: x …

Beispiel 12.1.7 (Menge der Farben der französischen Flagge pict).

{ x |x ist eine Farbe der französischen Flagge } { x |x ist die Farbe blau oder x ist die Farbe rot oder x ist die Farbe weiss }

Elementbeziehung

Definition 12.1.8 (Notation der Elementbeziehung). Gehört ein Objekt x zur Menge A, so nennt man x ein Element der Menge A und schreibt x ∈A.

Gehört x nicht zur Menge A, schreibt man x∈∕A.

Russelsche Paradoxie [IRVINE 2003]

Ob ein Objekt Element einer Menge ist oder nicht, lässt sich nicht in jedem Fall entscheiden. Sei M die Menge, welche durch { x |x∕∈x } charakterisiert wird. Gilt M ∈M?

  1. Falls M∕∈M, so ist M ∈ M wegen der Mengencharakterisierung. Dies ergibt einen Widerspruch.
  2. Falls M ∈ M ist, so ist M∕∈M wegen der Mengencharakterisierung. Dies ergibt einen Widerspruch.

Logische Verknüpfungen und ihre Wahrheitswerte

Disjunktion A oder (auch) B A ∨B
Konjunktion A und B A ∧B
Negation nicht A ¬A
Implikation wenn A, dann B A →B
Bikonditional A genau dann, wenn B A ↔B

Wahrheits- und Falschheitsbedingungen

Quantoren und Prädikate

Allquantor Für alle x gilt: … ∀x
Existenzquantor Es gibt mindestens ein x, für das gilt: … ∃x

Einige Wahrheits- und Falschheitsbedingungen

Sei m(x) das Prädikat “x ist menschlich” und s(x) das Prädikat “x ist sterblich”

Mengengleichheit

Definition 12.1.9 (Extensionalitätsprinzip). Zwei Mengen M und N sind gleich , wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Formal: M = N = df.∀x(x ∈M ↔x ∈N)

Beispiel 12.1.10 (Gleiche Mengen in beiden Notationsformen).
{a} = { x |x = a }
{a,b} = { x |x = a ∨x = b }

Mengenungleichheit

Anstelle von ¬(M = N) schreibt man kurz: M ⁄= N.

Frage

In welchen Funktionen wird das Symbol “=” verwendet?

Teilmengenbeziehung

Definition 12.1.11 (Teilmenge, subset). Eine Menge M ist Teilmenge der Menge N, wenn jedes Element von M auch Element von N ist. Der Menge N sagt man Obermenge .

Formal: M ⊆N = df.∀x(x ∈M →x ∈N)

Definition 12.1.12 (Echte Teilmenge, proper subset). Eine Menge M ist echte Teilmenge der Menge N, wenn M Teilmenge von N ist, aber nicht gleich N ist.

Formal: M ⊂N = df.M ⊆N ∧M ⁄= N

Beispiel 12.1.13.
{a,c}⊂{a,b,c}
{a,c}⊆{a,c}, aber {a,c}⁄⊂{a,c}

Leere Menge

Definition 12.1.14. Die leere Menge ist die Menge, welche keine Elemente enthält.

Formal: ∅ = df.{ x |x≠x }

Alternativ-Notation: {}

Fragen

Ist die leere Menge Teilmenge jeder Menge?

Ist die leere Menge Element jeder Menge?

Potenzmenge

Definition 12.1.15 (power set). Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M.

℘ (M ) =df.{ T | T ⊆ M }

Alternativ-Notation: 2M

Beispiel 12.1.16.
Potenzmenge der Menge M = {1,2}

℘ (M ) = {∅,{1},{2},{1,2 }}

Hinweis: ∅ ist sowohl Element als auch Teilmenge von ℘(M).

Operationen über Mengen
Sei M = {a,b,c} und N = {c,d,e}:

Disjunkte Mengen

Gilt A ∩B = ∅, so haben A und B keine gemeinsamen Elemente und man nennt A und B disjunkt .

Kardinalität von endlichen Mengen

Definition 12.1.17. Die Kardinalität einer endlichen Menge A ist die Anzahl ihrer Elemente.

Formal: |A |

Beispiel 12.1.18.
Die Kardinalität der leeren Menge ist null: |∅| = 0.

Welche Kardinalität hat die Potenzmenge einer Menge M: ℘(M)?

Unendliche Mengen

Mengen können auch unendlich viele Elemente enthalten. Z.B. die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {0,1,2,3,…}

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