Funktionen

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12.3. Funktionen

Deﬁnition 12.3.1 (totale Funktion). Eine Funktion ist eine Relation R ⊆M ×N über dem Deﬁnitionsbereich M und dem Wertebereich N, welche folgende Eigenschaften hat:

Jedes Element aus dem Deﬁnitionsbereich M ist mit höchstens einem Element aus dem Wertebereich N verbunden. (rechtseindeutig )
Jedes Element von M ist mit einem Element aus N verbunden. (linkstotal )

Partielle Funktion

Falls nur Bedingung 1 erfüllt ist, nennt man die Funktion partiell .

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Abbildung 12.2:

Pfeildiagramm einer partiellen Funktion

Notationen für Funktionen

Funktionsschreibweise

Statt f ⊆M ×N schreibt man f : M →N.
Statt 〈x,y〉∈f schreibt man f(x) = y.
Statt 〈x,y〉∈f schreibt man auch xy ∈f.

Deﬁnitionsschreibweisen

Sei M₁ = {a,b,c,d} und M₂ = {1,2,3}

f : M₁ →M₂ = {〈a,1〉,〈b,3〉,〈c,2〉,〈d,3〉}
f(x) =

Arten von (partiellen) Funktionen

Surjektiv (rechtstotal)

Jedes Element des Wertebereichs wird von mindestens einem Pfeil getroﬀen.

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Abbildung 12.3:

Pfeildiagramm einer surjektiven Funktion

Injektiv (linkseindeutig)

Jedes Element des Wertebereichs wird von höchstens einem Pfeil getroﬀen.

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Abbildung 12.4:

Pfeildiagramm einer injektiven Funktion

Bijektiv

Jedes Element des Wertebereichs wird von genau einem Pfeil getroﬀen.

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Abbildung 12.5:

Pfeildiagramm einer bijektiven Funktion

Multimengen
Eine Multimenge M = {a : 3,b : 4,c : 1} mit a,b,c,… ∈N ist eine (partielle) Funktion M : N →ℕ.

Beispiel 12.3.2 (Tokenvorkommen eines Satzes).
Wie notiert man die Multimenge der Token des Satzes “Wenn hinter Fliegen Fliegen ﬂiegen, ﬂiegt eine Fliege Fliegen nach.” als Menge von geordneten Paaren?

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