Objekte werden wir wie immer mit bezeichnen, die
Objektarten oder -klassen
jedoch nun mit kleinen Buchstaben
. Variable
bezeichnen Objekte oder Klassen. Aussagen
sind hier von der Form
oder
(wobei
wie vereinbart eine Klasse bezeichnet). Bei der ersteren
sprechen wir von einer positiven, bei der zweiten von einer negativen Aussage. Ist
ein Objekt, so spricht man
auch von einer atomaren, andernfalls, wie bereits erwähnt, von einer generischen
Aussage.
und
heißen
widersprüchliche Aussagen.
Ein (Vererbungs-) Netz besteht aus einer
Menge
von Objekten, einer Menge
von Klassen und einer
endlichen Menge von positiven
oder negativen Kanten, die
Elemente von
sind. Positive bzw. negative Kanten identifizieren wir mit den dadurch
repräsentierten positiven bzw. negativen Aussagen. Netze werden als
widerspruchsfrei bezüglich ihrer Kanten vorausgesetzt, dh. ist
eine Kante im Netz, dann ist das Auftreten von
nicht zugelassen und
umgekehrt.
Netze werden mit großen griechischen Buchstaben, meist mit
, bezeichnet. Da die Menge der Kanten implizit auch die Menge der
Knoten bestimmt, identifizieren wir ein Netz
oft auch mit der
Menge seiner Kanten. In diesem Sinne drücken wir mit Formeln wie
(etwas lax) aus, daß die so bezeichnete
Kante in der Kantenmenge des Netzes enthalten ist.
Pfade (eines Netzes ) sind induktiv wie folgt definiert.
Jede Aussage von
ist ein Pfad. Weiter, ist
ein positiver Pfad, so sind auch
und
Pfade, wenn
bzw.
Kanten im Netz sind. Im
ersteren Fall sprechen wir von einem positiven, im zweiten von einem negativen
Pfad. Pfade, die nicht
Aussagen sind, nennen wir auch zusammengesetzte
Pfade. Pfade
bezeichnen wir mit kleinen griechischen Buchstaben. Man beachte, daß nach
dieser Definition Pfade Objekte nur am Anfang und negative Aussagen nur am
Ende haben können.
und
sind also keine Pfade. Verallgemeinerte
Pfade
erlauben das Auftreten der negativen Aussage auch an anderer Stelle als am
Ende. Das erste (aber nicht das zweite) dieser beiden Beispiele ist also ein
verallgemeinerter Pfad. Die Länge eines Pfades ist die Anzahl
der Kanten. (Verallgemeinerte) Pfade sind insbesondere auch Netze. Für
einen Pfad
schreiben wir, wie
üblich, auch
im Falle
bzw.
im Falle
.
Wir sagen, daß Pfade Aussagen
ermöglichen (engl. enable). Und zwar
ermöglicht der Pfad die Aussage
und der Pfad
die Aussage
. Wir sprechen von
zwei widersprüchlichen Pfaden, wenn
sie, wie in diesem Fall, widersprüchliche Aussagen ermöglichen.
Die Menge der durch ein Netz repräsentierten Aussagen kann man als eine
Menge von Axiomen auffassen, die eine Theorie
charakterisieren. Die Menge der in der Theorie gültigen Aussagen ist
entsprechend dem Verständnis der multiplen Vererbungsnetze offensichtlich
eine Teilmenge derjenigen Aussagen, die durch Pfade ermöglicht sind. Da
widersprüchliche Pfade (also auch widersprüchliche Aussagen) möglich
(aber natürlich unerwünscht) sind, wie wir eingangs illustriert haben,
müssen wir zusehen, diese auszuschließen, indem wir in der Menge aller
Pfade eines Netzes erlaubte Pfade von unerlaubten so unterscheiden,
daß es unter den erlaubten Pfaden keine widersprüchlichen gibt. Daß
ein Pfad
im Netz
erlaubt ist, drücken wir formal
durch
aus.
Unsere Problematik reduziert sich also auf eine geeignete Definition der Menge
aller erlaubten Pfade, die wir auch als die Extension des
Netzes
bezeichnen (und dafür nach [Tou86] gelegentlich die Bezeichnung
wählen, wenn sich das zugehörige Netz von selbst versteht). Ist
dies erreicht, so werden wir sagen, daß ein Netz eine Aussage
stützt, wenn es einen erlaubten Pfad gibt, der
diese Aussage ermöglicht. Die durch das Netz repräsentierte Theorie ist
dann die Menge der vom Netz gestützten Aussagen (
in der
Notation von
[Tou86]). Diese Menge sollte möglichst unserer Intuition entsprechen.
Da, wie oben ausgeführt, diese Intuition variieren kann, kann es auch zu
verschiedenen Lösungen kommen. Eine solche Lösung, die aus einer
skeptischen Intuition hervorgeht werden wir im folgenden Unterabschnitt
angeben.
Christoph Quix, Thomas List, René Soiron