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Aufgabe 35

Wie aus Abschnitt 2.10 bekannt ist, können mit Hopfield-Netzen assoziative Speicher realisiert werden. Ausgehend von einer partiellen und fehlerhaften Eingabe ändert ein solches Netz fortlaufend seinen Zustand, bis dieser einem gespeicherten Element entspricht.

Dieses Verhalten kann über eine Energiefunktion beschrieben werden. Diese repräsentiert den Zustand eines Netzes zum Zeitpunkt t. Die Haupteigenschaft der Energiefunktion ist, daß ihr Wert fällt, wenn gemäß der Gleichung

die Ausgabe einer Einheit verändert wird, dh. die Energiefunktion ist monoton fallend. Wie üblich bezeichnet hierbei die Ausgabe der Einheit i zum Zeitpunkt t und das Gewicht der Verbindung von der i-ten zur j-ten Einheit. Die im Netz gespeicherten Elemente entsprechen dann einem lokalen Minimum der Energiefunktion.

Gegeben sei also ein Hopfield-Netz mit N Einheiten. Diese sind untereinander symmetrisch verbunden, dh. . Weiterhin nehmen wir an, daß gilt. Als Energiefunktion verwenden wir

Zum Zeitpunkt t+1 wird nun die Ausgabe der k-ten Einheit betrachtet. Zeige unter Verwendung der obigen Annahmen, daß abhängig von der Ausgabe der k-ten Einheit die Energiefunktion E monoton fallend ist, dh. gilt.