13.1.  Exkurs: Indexnotationen

n-Tupel und endliche Folgen 

n-Tupel als endliche Funktionen

Ein n-Tupel der Form 〈x₁,x₂,…,x_n〉 kann als Kurznotation für die Funktion , d.h. Menge {1x₁,2x₂,…,nx_n} aufgefasst werden.

0-Tupel

Ein n-Tupel der Form 〈〉 mit n = 0 kann als Alternativ-Notation für die leere Funktion, d.h. leere Menge {} aufgefasst werden.

n-Tupel und endliche Folgen

n-Tupel sind nichts anderes als eine endliche Folge von Koordinaten (Komponenten).

Welche Funktionen sollen als n-Tupel bzw. endliche Folgen gelten?

Endliche Folgen 

Formal

• Sei dom (domain) eine Funktion, welche den Definitionsbereich einer Relation f zurückgibt: dom(f) = _df.{ x |∃y (〈x,y〉∈ f) }.
• Stehe die Notation a..b gleich wie a ≤ x ≤ b für die Menge { x | a ≤ x ∧ x ≤ b }.
• Eine Funktion f : ℕ → M ist eine endliche Folge , gdw. dom(f) = 1.. | f |.

Beispiele: Korpora 

Frage

Wie müsste man ein satzsegmentiertes und tokenisiertes Korpus modellieren mit endlichen Folgen, damit man z.B. das 3. Wort des 400. Satzes eines Korpus bezeichnen kann?

Grosse Operatorzeichen mit Indexmengen 

Summenoperator ∑

• Berechnung der Summe einer Folge von Zahlen
• ∑ _i=1³x_i = x₁ + x₂ + x₃

Produktoperator ∏

• ∏ _k=mⁿa_k = ∏ _m≤k≤na_k = a_m × a_m+1 ×× a_n
• Fakultät: n! = ∏ _i=1ⁿi = 1 × 2 ×… × n

Vereinigung ⋃

• ⋃ _i=1³M_i = M₁ ∪ M₂ ∪ M₃